Bilangan Real

Posted in By Rus inriana 0 komentar

Perhatikan deretan bilangan-bilangan  berikut:

a.
1
2
3
...
b.
4
9
16
...

c.  31    40    21    30    16   ...


Deretan   bilangan   di   atas   mempunyai   pola   tertentu.   Dapatkah   anda menentukan  bilangan  yang  belum  diketahui  sesuai  dengan  aturan  yang dipunyai?

Pada a, bilangan ke 4 adalah 4, sebab deretan bilangan nomor 1, mempunyai aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2,  bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 +
1 = 3. Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4.

Pada   b,  bilangan  ke  4  adalah  25,  sebab  deretan  bilangan  nomor  2, mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2  = 22  = 4,  bilangan ke 2 = (2 +
1)2  = 32  = 9,  bilangan ke 3 = (3 + 1)2  = 42 = 16. Jadi bilangan ke 4 = (4 +

1)2  = 52 = 25.

Pada   c,  bilangan  ke  6  adalah  25,  sebab  deretan  bilangan  nomor  3, mempunyai aturan: bilangan ke 3 = bilangan pertama  - 10 = 31  - 10 = 21, bilangan ke 4 = bilangan ke 2  - 10 = 40 - 10 = 30, bilangan ke 5 = bilangan
ke 3 - 5 = 21 - 5 = 16,. Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 - 5 = 30 - 5 = 25.

Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan pada  deretan  itu.  Pola  sebuah  deretan  bilangan  tidak  tunggal.  Sebagai contoh, pada deretan bilangan nomor 2, bilangan ke n  =  (n + 1)2  dengan n
= 1, 2, 3, 4.

Selanjutnya  kita  akan  membicarakan  deretan  bilangan  dengan  pola khusus yang disebut barisan dan deret.

Definisi


Barisan bilangan real  adalah suatu fungsi dengan domain himpunan

semua bilangan asli (? ) dan kodomain himpunan semua bilangan real (? ).  Jika

U merupakan fungsi dari ?     ke ? , maka barisannya sering ditulis dengan  U1,

U2, U3, ..., Un, ....  Pada barisan U1, U2, U3, ..., Un, ... ,  Un disebut unsur ke

n atau elemen ke n dari barisan itu.

Contoh 1.1

1.   1, 2, 3,...  merupakan barisan dengan unsur ke n dari barisan itu adalah Un

= n.

2.   1, -1, 1, -1,....  adalah  barisan dengan unsur ke n dari barisan itu adalah

Un = (-1)n.

Definisi


Jika U1, U2, U3,..., Un,...  merupakan barisan bilangan real, maka

U1  + U2  + U3,... + Un   +... disebut deret, dan  Un  disebut suku ke n  barisan itu.



Contoh 1.2
1)   1 + 2 + 3 +...,  maka suku ke n barisan itu adalah Un = n.

2)    1  +  (-1) + 1+ (-1) +  ....,  maka suku ke  n dari deret itu adalah  Un  =

(-1)n.

3)   1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 +..., maka ke 7 dari barisan itu adalah 13.


Notasi Sigma

Perhatikan jumlahan  bilangan-bilangan berikut.

1.  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

2.  2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.

3.  1  +  1  +   1  .
3        9        27

4.  1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan  bilangan yang mempunyai pola dapat dituliskan dengan notasi    (dibaca: sigma), Sehingga jumlahan bilangan diatas dapat ditulis kembali :
Beberapa sifat notasi sigma
Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c, maka berlaku :